Kerucut - Pengertian, Rumus, Ciri-Ciri, Volume, Sifat, dan Contoh Soal

Kerucut merupakan bentuk limas yang istimewa karena memiliki satu sisi dan dua sisi. Bagian vertikal pada kerucut bukanlah segitiga, melainkan bidang miring yang biasa disebut penutup kerucut. Mungkin di kehidupan nyata, Anda bisa dengan jelas melihat contoh adalah koran terlipat yang digunakan untuk membungkus kue.

Untuk rumus matematika kerucut ini biasanya digunakan untuk soal matematika yang berkaitan dengan kerucut di SMP dan SMA, maka disini kita akan membahas rumus yang merupakan ulasan lengkap dan jelas yang didedikasikan untuk Anda semua.

Daftar Isi

Rumus kerucut

t = tinggi
r = radius
s = panjang garis pelukis (attom), yaitu garis yang menghubungkan puncak dengan alas kerucut.

Nilai s dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras.

Untuk jari-jari (r) yang merupakan kelipatan 7, π = 22/7, dan 3,14 untuk jari-jari yang bukan kelipatan.

Volume kerucut

Untuk menghitung volume kerucut, Anda harus mengetahui besar jari-jari (atau diameter dasar) dan tinggi kerucut. Volume dengan jari-jari r dan tinggi t dapat dihitung menggunakan rumus berikut.

Pertanyaan: Hitunglah volume kerucut dengan jari-jari alas 10,5 cm dan tinggi 20 cm! (Petunjuk: Volume kerucut = (1/3) πr.t.).
Jawaban:
Volume kerucut = (1/3) (22/7) x 10,5 x 10,5 x 20 = 2,310 cm3

Luas permukaan kerucut

Cara mencari luas permukaan kerucut adalah dengan menjumlahkan luas alas dengan luas selimut.

Luas permukaan = luas alas + luas karpet
= πr2 + πr s
= πr (r + s)

Luas di bagian bawah kerucut berbentuk lingkaran, sehingga dapat dihitung menggunakan rumus A = πr2. Anda bisa menggunakan rumus A = πrs untuk menghitung luas selimut kerucut, di mana s adalah panjang garis pelukis.

Baca juga: Pola Bilangan

Jaring-jaring kerucut

Sebenarnya tidak banyak jaring berbentuk ini, karena kerucut merupakan bentuk yang bentuknya relatif. Ada elemen lain dalamnya, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Bidang alas. Bidang alas itu sendiri berarti sisi di bawah kerucut, dengan pusatnya di tengah. Contoh titik pusatnya adalah titik O.
Diameter bawah. Diameter itu sendiri didefinisikan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu lingkaran melalui pusat lingkaran. Contoh ini mirip dengan contoh gambar dari sudut A ke sudut B di atas.
Jari. Jari-jari itu sendiri didefinisikan sebagai jarak antara pusat lingkaran dan titik, atau bisa juga setengah jarak dari titik kanan ke pusat. Contohnya mirip dengan contoh gambar sudut kerucut dari sudut A ke sudut O dan dari sudut B ke sudut O di atas.
Tinggi. Yang dimaksud dengan ketinggian sendiri adalah jarak dari sudut tengah bawah kerucut ke atas, atau bisa juga disebut dengan simetri rotasi. Contoh ini mirip dengan contoh gambar kerucut dari sudut O ke sudut T di atas.
Selimut kerucut. Yang dimaksud selimut kerucut itu sendiri adalah sisinya yang melengkung, dililitkan pada bagian yang terletak di sisi kiri dan kanan. Bisa juga disebut sisi lengkung kerucut. Contoh ini mirip dengan contoh gambar kerucut dari sudut T ke sudut A dan dari sudut T ke sudut B di atas.

Irisan kerucut

Kerucut merupakan bentuk dengan alas melingkar. Kerucut memiliki dua sisi, satu merupakan alas melingkar, dan yang lainnya adalah sisi melengkung yang membentuk selimut. Jika diiris dari berbagai arah, irisan yang dihasilkan akan membentuk beberapa bentuk. Bentuk akhir dari bagian bisa melingkar, elips, parabola atau hiperbolik.

Pemotongan kerucut secara horizontal akan menghasilkan irisan. Potongan pada suatu sudut akan membentuk elips atau parabola. Irisan yang tegak akan menghasilkan bentuk hiperbolik. Ini adalah gambar potongan kerucut dari berbagai arah untuk menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.

Lingkaran

Saat dipotong dalam arah horizontal, bentuk kerucut berbentuk lingkaran. Pembahasan materi penampang berbentuk melingkar meliputi persamaan bentuk umum lingkaran dengan jari-jari dan pusat yang berbeda.

Bentuk umum persamaan siklik dibedakan menjadi dua, yaitu berdasarkan pusat. Adalah pusat suatu titik dalam koordinat Kartesius O (0, 0) atau P (a, b). Selain itu, ada persamaan siklik yang diberikan dalam bentuk lain, yaitu x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Silakan lihat materi di bawah ini untuk pengenalan yang lebih lengkap tentang persamaan melingkar.

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dengan jari – jari r

Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r.

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dengan jari – jari r

Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari – jari r.

Bentuk umum persamaan lingkaran

Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang telah diberikan di atas, ada juga bentuk umum persamaan lingkaran yang dapat digunakan untuk keduanya. Bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

Elips

Elips dipotong dari irisan berikutnya yang akan dibahas. Bentuk elips seperti lingkaran datar. Komponen penting elips adalah sumbu utama, sumbu minor, fokus elips, puncak elips, pusat elips, dan rektum. Ada dua jenis elips yaitu elips horizontal dan elips vertikal.

Bentuk persamaannya sebagai berikut:

Dengan persamaan garis singgung yang melewati titik $(x_1,y_1)$ pada elips adalah:

Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m pada elips adalah:

persamaan garis singgung elips dengan gradien Kerucut

Parabola

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

Titik itu disebut fokus/titik api (F)
Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Hiperbola

Hiperbola adalah suatu tempat atau kedudukan dari titik-titik yang memiliki selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

Selisih jarak tersebut merupakan = 2a (bagi elips horisontal) atau 2b (bagi elips vertikal).
Kedua titik tetap tersebut disebut sebagai fokus (F) → jarak antara F₁ serta F₂ merupakan 2c.

Hiperbola adalah suatu tempat kedudukan pada seluruh titik yang perbandingan jaraknya pada suatu titik dan suatu garis tetap = e , di mana e > 1.

Titik-titik tertentu tesebut disebut sebagai fokus (F₁ dan F₂)
Garis yang melewati titik-titik F₁ dan juga F₂ tesebut disebut sebagai sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F₁ serta F₂ tesebut disebut sebagai pusat hiperbola (P)
Garis yang melewati P serta tegak lurus sumbu transvers disebut sebagai sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Titik-titik potong hiperbola dan juga sumbu transvers disebut sebagai puncak hiperbola
Garis yang melewati fokus serta tegak lurus pada sumbu nyata dan juga memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut merupakan = Latus Rectum

Contoh gambar:

Hiperbola horisontal di bawah ini dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0), serta asimtot y = ± ½√2 x, perhatikan gambar di bawah ini:

Hiperbola vertikal di bawah ini dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6), serta asimtot y = ± ½√2 x, perhatikan gambar di bawah ini:

Ciri-ciri kerucut

Karakteristik:

Ada 2 sisi
Memiliki 1 tulang rusuk
Memiliki 1 Titik puncak
Jaringan kerucut terdiri dari lingkaran dan segitiga

Sifat kerucut

Memiliki 2 permukaan yang melengkung yaitu permukaan bawah dan permukaan selimut
Memiliki basis bulat
Tulang rusuk yang melengkung
Memiliki simpul (vertex)
Ini memiliki garis gambar, yaitu garis-garis pada penutup berbentuk kerucut yang ditarik dari simpul (sudut) ke titik-titik pada keliling lingkaran.

Contoh soal

Diketahui bahwa kerucut itu tingginya 8 cm. Jika jari-jari 16 cm, berapakah volume dari bangun tersebut?

V = ⅓πr². T
V = 1/3 x 22/7 x 16 x 16 x 8
V = 2,124 sentimeter kubik

Diameter kerucut adalah 16 cm. Jika tingginya 10 cm, harap hitung volume kerucutnya?

Diameter = 16 cm
Jari-jari = 1/2 x diameter = 1/2 x 16 = 8 cm

Volume = 1/3 x 22/7 x 8 x 8 x 10 = 663cm³

Tinggi kerucut 16 cm. Jika jari-jari 10 cm, berapakah volume bentuknya? (π = 3,14)

V = 1/3 x 3,14 x 10 x 10 x 16 = 1657 sentimeter kubik

Pusat	Puncak Sumbu Mayor	Puncak Sumbu Minor	Persamaan Elips
$(0,0)$	$A_1(-a,0)$ $A_2(a,0)$	$B_1(0,-b)$ $B_2(0,b)$	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ Kurva lonjong mendatarPanjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$ Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $= 2b$ $a > b \rightarrow c^2 = a^2 - b^2$ b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″>Titik focus $f_1 (-c,0)$ dan $f_2(c,0)$ Eksentrisitas $e = \frac{c}{a}$ Direktriks $x = -\frac{a^2}{c}$ dan $x = \frac{a^2}{c}$ Panjang latus rectum $= \frac{2b^2}{a}$
$A_1(0,-a)$ $A_2(0,a)$	$B_1(-b,0)$ $B_2(b,0)$	$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2}=1$ Kurva lonjong vertikalPanjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$ Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$ $a > b \rightarrow c^2 = a^2 - b^2$ b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″>Titik focus $f_1(0,-c)$ dan $f_2(0,c)$ Eksentrisitas $e = \frac{c}{d}$ Direktriks $x =-\frac{a^2}{c}$ dan $x =\frac{a^2}{c}$ Panjang latus rectum $=\frac{2b^2}{a}$
$(h,k)$	$A_1(h-k,a)$ $A_2(h+a,0)$	$B_1(h,k-b)$ $B_2(h,k+b)$	$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ Kurva lonjong mendatarPanjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$ Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$ $a > b \rightarrow c^2 = a^2 -b^2$ b \rightarrow c^2 = a^2 -b^2″>Titik focus $f_1(h-c,0)$ dan $f_2(h+c,0)$ Eksentrisitas $e = \frac{c}{d}$ Direktriks $x = h -\frac{a^2}{c}$ dan $x = h + \frac{a^2}{c}$ Panjang latus rectum $= \frac{2b^2}{a}$
$A_1(h,k - a)$ $A_2(h,k + a)$	$B_1(h - b,k)$ $B_2(h + b,k)$	$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$ Kurva lonjong vertikalPanjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$ Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$ $a > b \rightarrow c^2 = a^2 - b^2$ b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″>Titik focus $f_1(0,k - c)$ dan $f_2(0,k + c)$ Eksentrisitas $e = \frac{c}{a}$ Direktriks $x = k - \frac{a^2}{c}$ dan $x = k + \frac{a^2}{c}$ Panjang latus rectum $= \frac{2ab^2}{a}$