Penjelasan lengkap apa itu linear mulai dari pengertian, rumus, fungsi, arti, persamaan, pertidaksamaan, kecepatan, dan contoh terbarunya. Persamaan linear adalah persamaan aljabar di mana setiap suku mengandung konstanta atau hasil perkalian konstanta dan variabel tunggal. Alasan mengapa persamaan tersebut linier adalah karena hubungan matematisnya dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesian.
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah 
bukanlah persamaan linear.
Daftar Isi
Persamaan Linear
Persamaan linier adalah persamaan yang berisi variabel pangkat satu. Persamaan ini juga disebut persamaan orde pertama (persamaan linier variabel). Bentuk umum dari persamaan linier adalah:
ax + b = c, a ≠ 0, a, b, c, E R
Contoh Persamaan : 8000x = 40000
Misalnya, jika Anda mengubahnya menjadi persamaan, persamaan tersebut tidak akan berubah.
i) 8000x + 2000 = 40000 + 2000
ii) 8000x-2000 = 40000-2000
Dalam persamaan linier, penambahan dan pengurangan pada kedua sisi tidak akan mengubah persamaan tersebut. Artinya persamaan awalan sama dengan persamaan i dan persamaan ii.
Misalnya, ini juga berlaku untuk kita yang mengubahnya menjadi;
a) 8000x X 5 = 40000 X 5
b) 8000x: 5 = 40000: 5
Persamaan awal sebenarnya sama dengan persamaan a dan b. Inilah sifat persamaan linier.
Pertidaksamaan Linear
Apakah Pertidaksamaan itu? Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dengan menggunakan simbol <,>, <,>.
Kecuali penggunaan “tanda”, terdapat perbedaan saat mengalikan / membagi bilangan negatif.
Dalam persamaan linier, jika kita mengalikan atau membagi kedua sisi dengan angka negatif, “tanda” akan tetap sama dengan (=). Ini berbeda dengan pertidaksamaan linier.
Dalam pertidaksamaan linier, jika Anda mengalikan kedua sisi dengan angka negatif (-), tanda sebelumnya akan menjadi tanda sebaliknya. contoh:
-3x + 2 <20
= -3x <18
= 3x> -18 (perhatikan bagian ini. Jika sisi positif dan negatif dikalikan dengan tanda negatif (-), tanda )
= x> -6
Fungsi Linear
Pengertian dari fungsi itu sendiri adalah hubungan matematis antara variabel dan variabel lain. Beberapa elemen yang membentuk suatu fungsi antara lain variabel, koefisien, dan konstanta.
Variabel adalah jenis elemen, dan atributnya akan bervariasi antar kondisi. Variabel dibedakan menjadi dua, yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel independen adalah variabel yang menjelaskan variabel lain. Variabel terikat adalah variabel yang dijelaskan oleh variabel bebas.
Koefisien adalah bilangan yang berada tepat di depan bilangan atau variabel dan terkait dengan variabel yang dimaksud. Konstanta ditetapkan dan tidak ada hubungannya dengan variabel apa pun.
Fungsi linier itu sendiri memiliki bentuk umum berikut:
f: x → mx + c atau
f (x) = mx + c atau
y = mx + c
m adalah gradien atau kemiringan atau kecondongan, c adalah konstanta.
Fungsi linier adalah fungsi y = f (x), di mana untuk semua x di daerah asalnya, f (x) = ax + b (a, b∈R dan a ≠ 0). Fungsi linier juga disebut fungsi polinomial orde pertama (kelipatan) dari variabel x.
Rumus Linear
Rumus Persamaan Linear
Persamaan linier adalah persamaan aljabar, di mana setiap suku mengandung konstanta atau hasil kali konstanta dan tanda sama dengan, dan variabel tersebut adalah pangkat orde pertama. Alasan mengapa persamaan ini linier adalah karena jika kita menggambarnya dalam sistem koordinat Kartesius, itu adalah garis lurus. Sistem persamaan linier disebut sistem satu variabel dari persamaan linier karena sistem tersebut memiliki satu variabel. Bentuk umum persamaan linier dengan satu variabel adalah y = mx + b. Dalam hal ini, konstanta m menggambarkan kemiringan garis, dan konstanta b adalah perpotongan sumbu y.
Jika ada dua variabel dalam sistem persamaan linier, sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan linier dua variabel, dan bentuk umumnya adalah Ax + By + C = 0, dan bentuk standar dari bentuk umumnya adalah ax + By + c konstanta ≠ 0 . Saat menemukan perpotongan gradien, kami menggunakan rumus berikut:
Titik potong dengan sumbu x maka:
Titik potong dengan sumbu y maka:
Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :
dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.
Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :
- Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.
- a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)
- b. x2 + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
- c. p2 + q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
- d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)
- Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab :
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
- Selesaikan penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 menggunakan cara substitusi
Jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y, Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi:
2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
- Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500, Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika. Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y, Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000
( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk) sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-.
Rumus Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka dalam matematika. Ini terdiri dari variabel tingkat 1 dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum pertidaksamaan linier biner, yaitu: ax + by> cax + by & lt; cax + by≥cax + by≤cd, dengan koefisien x dan b, serta koefisien y dan c adalah konstanta, di mana a, b , C adalah bilangan real, a ≠ 0, b ≠ 0.
Biasanya menggambar solusi pertidaksamaan linier, dan langkah-langkah menggambar diagram pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut:
- Ubah simbol pertidaksamaan menjadi persamaan
- Tentukan perpotongan koordinat Kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.
- Gunakan titik uji untuk menentukan luas solusi.
- Buatlah grafik dan isi area yang telah selesai.
Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :
Kecepatan linear
Kecepatan linier adalah jarak yang ditempuh dibagi dengan waktu tempuh. Jarak satu revolusi sama dengan keliling lingkaran, yaitu 2.π.r (r adalah jari-jari atau jari-jari lingkaran). Rumus yang digunakan untuk menentukan kecepatan linier (kecepatan linier) suatu benda dalam gerakan melingkar adalah sebagai berikut.
v = kecepatan linear (rad/sekon)
π = konstanta lingkaran = 22/7
r = radius (jari-jari lingkaran)
f = frekuensi (putaran/sekon)
T = periode (sekon)
Yang dimaksud kecepatan linier adalah panjang lintasan suatu titik yang bergerak dalam lingkaran per satuan waktu. Kecepatan garis juga disebut kecepatan tangensial. Satuan kecepatan linier adalah meter / sekon. Satuan lain yang dapat digunakan antara lain cm / detik, meter / menit, meter / jam, dll.